Подробное содержание :: Биссектриса треугольника Определение 4. Любая из трех биссектрис внутренних углов треугольника называется биссектрисой треугольника.
Под биссектрисой угла треугольника также понимают отрезок между его вершиной и точкой пересечения биссектрисы с противолежащей стороной треугольника.
Теорема 8. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
биссектрисы Действительно, рассмотрим сначала точку Р пересечения двух биссектрис, например АК1 и ВК2. Эта точка одинаково удалена от сторон АВ и АС, так как она лежит на биссектрисе угла А, и одинаково удалена от сторон АВ и ВС, как принадлежащая биссектрисе угла В. Значит, она одинаково удалена от сторон АС и ВС и тем самым принадлежит третей биссектрисе СК3, то есть в точке Р пересекаются все три биссектрисы.
Свойства биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника
Теорема 9. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.
к теоремам 9 и 10 Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС и биссектрису его угла В. Проведем через вершину С прямую СМ, параллельную биссектрисе ВК, до пересечения в точке М  продолжением стороны АВ. Так как ВК – биссектриса угла АВС, то ÐАВК=ÐКВС. Далее, ÐАВК=ÐВМС, как соответственные углы при параллельных прямых, и ÐКВС=ÐВСМ, как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Отсюда ÐВСМ=ÐВМС, и поэтому треугольник ВМС – равнобедренный, откуда ВС=ВМ. По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны угла, имеем АК:КС=АВ:ВМ=АВ:ВС, что и требовалось доказать.
Теорема 10 Биссектриса внешнего угла В треугольника АВС обладает аналогичным свойством: отрезки AL и CL от вершины А и С до точки L пересечения биссектрисы с продолжением стороны АС пропорциональны сторонам треугольника: AL:CL=AB:BC.
Это свойство доказывается так же, как и предыдущее: на рисунке проведена вспомогательная прямая СМ, параллельная биссектрисе BL. Углы ВМС и ВСМ равны, а значит, и стороны ВМ и ВС треугольника ВМС равны. Из чего приходим к выводу AL:CL=AB:BC.

формула биссектрисы 1 Теорема d4. (первая формула для биссектрисы): Если в треугольнике ABC отрезок AL является биссектрисой угла A, то AL² = AB·AC - LB·LC.

Доказательство: Пусть M - точка пересечения прямой AL с окружностью, описанной около треугольника ABC (рис. 41). Угол BAM равен углу MAC по условию. Углы BMA и BCA равны как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду. Значит, треугольники BAM и LAC подобны по двум углам. Следовательно, AL : AC = AB : AM. Значит, AL · AM = AB · AC <=> AL · ( AL + LM ) = AB · AC <=> AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Что и требовалось доказать. Примечание: теорему об отрезках пересекающихся хорд в круге и о вписанных углах смотри в теме круг и окружность.


формула биссектрисы 2

Теорема d5. (вторая формула для биссектрисы): В треугольнике ABC со сторонами AB=a, AC=b и углом A, равным 2α и биссектрисой l, имеет место равенство:
l = ( 2ab / (a+b) ) · cosα.

Доказательство: Пусть ABC - данный треугольник, AL - его биссектриса (рис. 42), a=AB, b=AC, l=AL. Тогда SABC = SALB + SALC. Следовательно, absin2α = alsinα + blsinα <=> 2absinα·cosα = (a + b)·lsinα <=> l = 2·( ab / (a+b) )· cosα. Теорема доказана.