Подробное содержание :: Площадь треугольника Как известно, площадь прямоугольника равна произведению его двух смежных сторон S=aЧb.
Диагональ делит прямоугольник пополам, на два равных (и равновеликих) прямоугольных треугольника. Их площади равны половине площади прямоугольника. Или половине произведения их катетов.
S=1/2ЧaЧb
Теперь рассмотрим треугольник АВС. Проведем в нем высоту ВН. Эта высота разделит треугольник АВС на два прямоугольных треугольника АВН и СВН. Запишем площади этих треугольников:
S_ABH=1/2ЧAHЧBH,
S_CBH=1/2ЧCHЧBH
Теперь сложим эти площади и получим площадь всего треугольника АВС:
S_ABC=1/2ЧBHЧ(AH+CH)=1/2ЧBHЧAC
Теорема 42. Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне
Отдельного рассмотрения требует случай тупоугольного треугольника.
Рассмотрим тупоугольный треугольник АВС. Проведем в нем высоту ВН из верштны тупого угла. Эта высота упадет на продолжение стороны АС в сторону С. Образовались два прямоугольных треугольника АВН и СВН. Запишем площади этих треугольников:
S_ABH=1/2ЧAHЧBH, S_CBH=1/2ЧCHЧBH
Теперь получим площадь всего треугольника АВС:
S_ABC=1/2ЧBHЧ(AH-CH)=1/2ЧBHЧAC

Также смотрите формулу площади треугольника через синус угла и формулу Герона